本研究採用廣義有限差分法(generalized finite difference method, GFDM)為基礎，建立一套無網格法數值演算流程，用以分析二維亥姆霍茲方程式(Helmholtz equation)與二維雙調和方程式(bihamonic equation)的特徵值問題(eigenvalue problems)。以亥姆霍茲方程式為控制方程式的特徵值問題在不同物理領域有非常多的應用性，例如電磁學中的波導管問題、聲波壓力場的分佈與傳遞、光波傳導問題等，而以雙調和方程式為控制方程式的特徵值問題應用於薄板震動問題，因此開發一套高效率且高準確性的數值分析電腦模擬模式是非常重要的，將可幫助學術研究與工程問題分析使用。廣義有限差分法是無網格法的其中一種，可以避免建立網格與數值積分等耗時工作，因此能大幅減少電腦模擬分析的時間，更能提高計算效率與準確性。廣義有限差分法採用移動最小二乘法與泰勒級數展開式推導各點位上的微分項，可將每一個點位的各階微分項表示為臨近點位物理量的線性權重累加，再藉由配點法的操作流程，使內部點位滿足偏微分方程式以及邊界點位滿足邊界條件，可以導得一線性代數特徵值系統，配合MATLAB軟體之函數計算，則可快速且準確的分析亥姆霍茲方程式與雙調和方程式特徵值問題中的波數與特徵向量。本研究以十二個不規則計算域案例進行模式的驗證與分析，模擬結果分別與前人研究結果比較可以證明本研究所開發模式之正確性；除此之外，本研究也採用不同總點數與不同展開階數進行模擬分析，可以證明此一無網格法模擬模式結果之一致性。
